В математическом центре мирового уровня имени Леонарда Эйлера

с 1 по 5 ноября 2023 года пройдет Осенняя школа-конференция для молодых исследователей. На школе будут представлены 5 мини-курсов.

Введение в схемы Гротендика

Иван Панин (ПОМИ РАН)

Цель содержится в названии курса. Будет рассказано:

1. Окольцованные пространства как удобный и правильный геометрический объект.

2. Комплексные алгебраические многообразия как окольцованные пространства.

3. Окольцованное пространство ассоциированное с коммутативным кольцом: (Spec R, \cal O) Другой термин -- аффинная схема.

4. Схема - это окольцованное пространство локально изоморфное аффинной схеме (произнесённое определение близко к правильному, но имеется небольшая тонкость, которая в анонсе сознательно пропущена).

5. Примеры.

Митоз в исчислениях Шуберта

Валентина Кириченко (НИУ ВШЭ)

Исчисление Шуберта - классическая область на стыке алгебраической геометрии, теории представлений и комбинаторики. Комбинаторные аспекты исчисления Шуберта особенно активно развиваются в последние полвека, с тех пор как в работах Бернштейна-Гельфанда-Гельфанда, Демазюра и Ласку-Шютценберже были построены многочлены Шуберта. Многочлены Шуберта для классической группы (то есть для SL(n), Sp(2n) или SO(n)) нумеруются элементами её группы Вейля, и особенно хорошо изучены в случае SL(n) (группа Вейля=группа перестановок). Конструкция многочленов Шуберта чисто алгебраическая - все они индуктивно строятся из одного единственного монома применением операторов разделённых разностей. В случае SL(n) Кнутсон и Миллер уже в нашем веке придумали комбинаторный аналог оператора разделённых разностей, названный ими митозом (термин заимствован из биологии). Митоз действует на пайп дримах (pipe dreams) - реализациях перестановок в виде конфигураций пересекающихся труб, собранных из деталей одноимённой игры. В частности, митоз Кнутсона-Миллера позволяет индуктивно и без сокращений получать все мономы в многочленах Шуберта, что даёт более конструктивное доказательство теоремы Кириллова-Фомина. Совсем недавно Фуджита и Нишияма построили пайп дримы и митоз в случае симплектической группы Sp(2n) (группа Вейля=группа знаковых перестановок). Я собираюсь рассказать обо всех упомянутых в анонсе конструкциях, дав все необходимые определения и мотивировки. Для понимания мини-курса достаточно твёрдого знания линейной алгебры и основ абстрактной алгебры.

Одна открытая проблема о группе SL_2

Анастасия Ставрова (СПбГУ)

Мы обсудим следующую открытую проблему: верно ли, что группа SL_2(k[x^{\pm 1},y^{\pm 1}])— группа матриц 2x2 с определителем 1 над кольцом многочленов Лорана от двух переменных над полем - порождается матрицами элементарных преобразований? Обычный алгоритм Гаусса показывает, что группа SL_2(k) порождена матрицами элементарных преобразований. Пользуясь тем, что k[x] и k[x^{\pm 1} являются евклидовыми кольцами, можно показать, что то же самое верно и для SL_2(k[x^{\pm 1}]. С другой стороны, контрпример Кона показывает, что элементарными преобразованиями не порождается группа SL_2(k[x,y]),
а Бахмут и Мочизуки доказали то же самое для кольца многочленов Лорана от 3 и более переменных. Мы обсудим доказательство контрпримера Кона при помощи простого алгоритма Парка, а также теорему Чу, из которой следует еще несколько близких (в том числе — положительных) результатов об элементарном порождении SL_2.

Аддитивные действия и соответствие Хассетта-Чинкеля

Юлия Зайцева (НИУ ВШЭ)

Аддитивным действием на алгебраическом многообразии называется эффективное регулярное действие коммутативной унипотентной линейной алгебраической группы с открытой орбитой. Другими словами, изучаются открытые эквивариантные вложения векторной группы в алгебраические многообразия. В работе (Brendan Hassett and Yuri Tschinkel. Geometry of equivariant compactifications of G_a^n. Int. Math. Res. Not. IMRN 1999 (1999), no.22, 1211-1230) Хассетт и Чинкель установили соответствие между коммутативными локальными конечномерными алгебрами с единицей и аддитивными действиями на проективных пространствах. Этот подход может быть применён к изучению аддитивных действий на проективных гиперповерхностях. Оказывается, что случай невырожденной гиперповерхности соответствует горенштейновым локальным алгебрам, и с помощью этой техники можно получить несколько результатов об аддитивных действиях. В частности, доказано, что на невырожденной проективной гиперповерхности существует не более одного аддитивного действия.

Сферические модули

Роман Авдеев (НИУ ВШЭ)

Сферический модуль -- это представление связной редуктивной алгебраической группы G в конечномерном векторном пространстве V, такое что V является сферическим как G-многообразие, то есть обладает открытой орбитой относительно действия борелевской подгруппы B группы G. В мини-курсе планируется обсудить различные замечательные свойства сферических модулей, их инварианты и классификацию. По ходу изложения будут проиллюстрированы некоторые важные идеи общей теории сферических многообразий.