29 апреля-3 мая 2023, Санкт-Петербург
В математическом центре мирового уровня имени Леонарда Эйлера прошла Весенняя школа-конференция для молодых исследователей. На школе были представлены 5 мини-курсов.
Автоморфизмы торических многообразий
Иван Аржанцев (ФКН НИУ ВШЭ)
В этом курсе мы определим аффинные и произвольные торические многообразия, напомним их описание и основные свойства, а также будем изучать симметрии торических многообразий.
Лекция 1. Аффинные торические многообразий и конуса. Корневые подгруппы и транзитивность действия группы автоморфизмов на гладких точках. Произвольные торические многообразия и веера. Орбиты группы автоморфизмов на торическом многообразии.
Лекция 2. Корни Демазюра, наборы коммутирующих корневых подгрупп и аддитивные действия на полных торических многообразиях. Кольцо Кокса.
Лекция 3. Описание группы автоморфизмов полного торического многообразия. Лучезарные торические многообразия и классификация
корней Демазюра.
Порядок Брюа и касательные конусы к многообразиям Шуберта
Михаил Игнатьев (Самарский национальный исследовательский университет)
В мини-курсе будет рассказано про связь порядка Брюа с геометрией многообразий Шуберта. Вначале будут даны основные свойства порядка Брюа и его разные характеризации для типа A. Затем будут рассмотрены разные определения касательного конуса к алгебраическому многообразию и, в частности, его комбинаторная интерпретация для многообразий Шуберта. Наконец, будут рассмотрены так называемые многочлены Костанта-Кумара и будет показано, как связаны порядок Брюа и касательные конусы как подсхемы в касательном пространстве к многообразию флагов.
Многоугольники Ньютона и автоморфизмы алгебры многочленов
Сергей Гайфуллин (ФКН НИУ ВШЭ)
Курс будет посвящён проблеме поиска системы порождающих группы автоморфизмов алгебры многочленов над полем. Назовём элементарными автоморфизмами алгебры многочленов от n переменных те, которые соответствуют аффинному преобразованию и треугольные автоморфизмы, то есть такие, для которых образ i-ой переменной — это многочлен только от переменных от первой до i-ой. Ручными называются те автоморфизмы, которые можно разложить в композицию элементарных. Остальные автоморфизмы называются дикими. Элементарные автоморфизмы являются естественной системой порождающих для группы ручных автоморфизмов. Возникает вопрос, существуют ли дикие автоморфизмы? Ответ известен лишь для n=2 (Теорема Юнга говорит, что все автоморфизмы ручные) и для n=3 (Умирбаев и Шестаков доказали существование дикого автоморфизма). Мы обсудим доказательство теоремы Юнга, основанное на использовании локально нильпотентных дифференцирований, а также структурную теорему для n=2 (вся группа автоморфизмов разлагается в амальгамированное произведение двух подгрупп).
GKM-многообразия и графы
Виктор Петров (СПбГУ)
Многообразия Горески-Коттвица-Макферсона (сокращено GKM) -- это гладкие многообразия, на которых действует алгебраический тор с конечным числом неподвижных точек и конечным числом инвариантных проективных прямых. По GKM-многообразию строится граф, вершинами которого являются неподвижные точки, а ребрами -- инвариантные прямые; кроме того, на ребре ставится метка -- характер тора, через который пропускается действие тора на прямой. Эти комбинаторные данные позволяют вычислять многие инварианты многообразия. Например, размерность совпадает со степенью (каждой) вершины, а элементы эквивариантного кольца Чжоу (или кольца сингулярных когомологий) задаются расстановками многочленов от характеров тора с некоторыми условиями делимости. Мы приведем примеры (проективные однородные многообразия, торические многообразия) и опишем комбинаторный аналог некоторых конструкций алгебраической геометрии (пуллбэки, пушфорварды, операторы Демазюра, раздутия и т.п.)
Торические и флаговые многообразия: подход Пухликова-Хованского
Евгений Смирнов (матфак НИУ ВШЭ, НМУ)
Теорема А.Г.Кушниренко и Д.Н.Бернштейна, выражающая число общих корней нескольких многочленов Лорана в терминах объёмов их многогранников Ньютона также может быть проинтерпретирована как формула для нахождения числа пересечения дивизоров на проективном торическом многообразии. В 1992 году А.В.Пухликов и А.Г.Хованский заметили, что теорема Кушниренко-Бернштейна позволяет полностью описать кольцо когомологий гладкого проективного торического многообразия. Удивительным образом, почти тот же подход, примененный к многограннику Гельфанда-Цетлина, позволяет описать кольцо когомологий многообразия полных флагов и явно вычислять произведения циклов Шуберта, просто пересекая некоторые наборы граней этого многогранника — несмотря на то, что многогранник Гельфанда-Цетлина не является простым, а многообразие флагов — торическим.
Я расскажу о том, как применяется подход Пухликова-Хованского и его обобщения для описания когомологий торических и флаговых многообразий, а также о том, как почти такое же описание в терминах многогранников на целочисленной решетке можно дать и для их колец Гротендика K_0(X) (последнее — это наша недавняя работа с Л.В.Мониным).
- Иван АржанцевНИУ ВШЭ
- Виктор ПетровСПбГУ
- Михаил ИгнатьевСамарский Университет
- Сергей ГайфуллинНИУ ВШЭ
- Евгений СмирновНИУ ВШЭ, НМУ
29 апреля
10.00-11.20 В.А.Петров (лекция 1)
11.20-11.40 Кофе-брейк
11:40-13.00 С.А.Гайфуллин (лекция 1)
13.00-14.30 Обед
14:30-15.50 Е.Ю.Смирнов (лекция 1)
15.50-16.00 Перерыв
16:00-17.20 М.В.Игнатьев (лекция 1)
17.20-17.35 Кофе-брейк
17.35-18.05 В.Киктева "Обобщение теоремы ABC о локально нильпотентных дифференцированиях"
18.05-18.10 перерыв
18.10-18.40 М.Сурков "Классификация коприсоединённых орбит унипотентного радикала борелевской подгруппы простой алгебраической группы типа F_4"
30 апреля
11.20-11.40 Кофе-брейк
11:40-13.00 С.А.Гайфуллин (лекция 2)
13.00-14.30 Обед
14:30-15.50 Е.Ю.Смирнов (лекция 2)
15.50-16.00 перерыв
16:00-17.20 М.В.Игнатьев (лекция 2)
17.20-17.35 Кофе-брейк
17.35-18.05 А.Шевченко "Центрально порождённые примитивные идеалы U(n) в особых типах"
18.05-18.10 перерыв
18.10-18.40 М.Венчаков "Характеры неприводимых представлений унитреугольной группы над конечным полем"
1 мая
11.20-11.40 Кофе-брейк
11:40-13.00 И.В.Аржанцев (лекция 2)
13.00-14.30 Обед
14:30-15.00 Р.Стасенко "Короткие SL_2-структуры и их представления"
15.00-15.05 перерыв
15.05-15.35 А.Кучеренко "Алгебры ветвления и правила ветвления для особых редуктивных алгебраических групп"
15.35-15.40 перерыв
15:40-16.10 Ю.Зайцева "Аффинные моноиды коранга один"
16.10-16.15 перерыв
16.15-16.45 А.Петухов "Сферические действия на грассманианах и правила ветвления"
16.45-17.05 Кофе-брейк
17.05-17.35 В.Егоров "Проблема 10 дискриминанта"
17.35-18.30 постерная сессия
2 мая
11.20-11.40 Кофе-брейк
11:40-13.00 С.А.Гайфуллин (лекция 3)
13.00-14.30 Обед
14:30-15.50 Е.Ю.Смирнов (лекция 3)
15.50-16.00 перерыв
16:00-17.20 М.В.Игнатьев (лекция 3)
17.20-17.35 Кофе-брейк
17.35-18.05 Е.Преснова "Многочлены Ласку и подразбиения многогранников Гельфанда-Цетлина"
18.05-18.10 перерыв
18.10-18.40 Ю.Мухина "Многогранники Ньютона в задаче дифференциального исключения"
3 мая
11.20-11.35 Кофе-брейк
11:35-12.05 К.Туленбаев "О полилинейной части Kleinfeld алгебр"
12.05-12.10 перерыв
12.10-12.40 Э.Шен "Linear preservers of new matrix invariants"
12.40-12.45 перерыв
12.45-13.15 С.Шамов "Контрамодулизация весовых триангулированных категорий"
13.15-14.30 Обед
14.30-15.00 Р.Серова "Фактормногообразия якобианов"
15.00-15.05 Перерыв
15.05-15.35 Н.Борозенец "Dyson’s rank and crank modulo 11"
15.35-15.40 перерыв
15.40-16.10 А.Зайцев "Константы Жордана группы Кремоны ранга 2 и автоморфизмы двумерных квадрик"
Классификация коприсоединённых орбит унипотентного радикала борелевской подгруппы простой алгебраической группы типа F_4
А.Шевченко
Центрально порождённые примитивные идеалы U(n) в особых типах
В.Киктева
Обобщение теоремы ABC о локально нильпотентных дифференцированиях
М.Венчаков
Характеры неприводимых представлений унитреугольной группы над конечным полем
Р.Стасенко
Короткие SL_2-структуры и их представления
Пусть S --- произвольная алгебраическая группа. Назовем S-структурой на алгебре Ли g гомоморфизм P: S->Aut(g). S-структуры ранее излучались различными авторами, в том числе Э.Б. Винбергом.
В докладе рассматриваются SL_2-структуры. SL_2-структуру назовем короткой, если представление P группы SL_2 разлагается на неприводимые представления размерностей 1, 2 и 3.
Если рассматривать непроходимые представления размерностей только 1 и 3, то получится известная конструкция Китса-Кантора-Кехера, устанавливающая взаимно-однозначное соответствие между простыми йордановыми алгебрами и простые алгебры Ли определенного вида.
Аналогично теореме Титса–Кантора–Кехера в случае коротких SL_2-структур можно установить взаимно-однозначное соответствие между простыми алгебрами Ли с такой структурой и так называемыми простыми симплектическими структурами Ли-Йордана.
Короткие и очень короткие SL_2-структуры можно задавать на произвольных g-модулях, используя соответствующее линейное представление алгебры Ли g. Подобная конструкция имеет интересные приложения к теории представлений йордановых алгебр, о которых будет рассказано в докладе.
А.Кучеренко
Алгебры ветвления и правила ветвления для особых редуктивных алгебраических групп
В докладе планируется рассказать про некоторый класс задач из линейной алгебры и фукнционального анализа, называемый linear preserver problems. Я дам общий обзор и расскажу о своём результате в этой области - опишу линейные преобразования, сохраняющие числа Гау-Ву - некоторый матричный инвариант.
Ю.Зайцева
Аффинные моноиды коранга один
Аффинным алгебраическим моноидом называется неприводимое аффинное алгебраическое многообразие X с ассоциативным умножением, являющимся морфизмом алгебраических многообразий и обладающим нейтральным элементом. Я расскажу про классификацию аффинных моноидов коранга один. Рассматриваемые нами моноиды оказываются торическими многообразиями, а умножение связано с их корнями Демазюра. Работа поддержана грантом РНФ 22-41-02019.
А.Петухов
Сферические действия на грассманианах и правила ветвления
Доклад посвящен совместным с Р. Авдеевым статьям про сферические действия на многообразия флагов. В частности, планируется обсудить результаты последней из них: описание правил ветвления (то есть правил разложения простого модуля большей группы в сумму простых модулей меньшей группы), возникающих из таких действий.
В.Егоров
Проблема 10 дискриминанта
Ещё со времён Гаусса стоял вопрос об описания одноклассовых полей вида Q(sqrt(-d)). Довольно давно было известно ,что для d = 1,2,3,7,11,19,43,67,163,было даже известно,что существует не больше 10 таких чисел,но найти 10 такое число долго не удавалось. В докладе будет дан обзор истории решения проблемы о десятом дискриминанте,проблем описания двуклассовых полей такого вида.
Е.Преснова
Многочлены Ласку и подразбиения многогранников Гельфанда-Цетлина
Для многих известных многочленов существует комбинаторное описание. Например, многочлены Шура можно описать в терминах таблиц Юнга. В своем докладе я расскажу про многочлены Ласку, которые строятся по некоторой перестановке и по разбиению, а также опишу их связь с многогранниками Гельфанда-Цетлина.
Ю.Мухина
Многогранники Ньютона в задаче дифференциального исключения
Задача дифференциальное исключение - это дифференциальный аналог задачи исключения переменных для полиномиальных систем. Одна из естественных задач дифференциального исключения состоит в том, чтобы исключить все переменные в системе кроме одной, то есть описать дифференциальный идеал. В докладе будет рассмотрен случай системы дифференциальных уравнений, найден вид многогранника Ньютона для минимального многочлена соответствующего идеала исключения.
К.Туленбаев
О полилинейной части алгебр Клейнфельда
Алгебры Клейнфельда были введены Б. A. Купершмидтом в книге 2010 года: Kupershmidt B.A. Phase Spaces of Algebras, University of Tennessee, Knoxville. Мы изучаем полилинейную часть и хотим описать полилинейный базис алгебр Клейнфельда для n<7. Мы получили, что P(3)=8, P(4)=40, P(5)=210 и P(6)=1262.
Э.Шен
Linear preservers of new matrix invariants
С.Шамов
Контрамодулизация весовых триангулированных категорий
Р.Серова
Фактормногообразия якобианов
Н.Борозенец
Dyson’s rank and crank modulo 11
congruences:
p(5n + 4) ≡ 0 (mod 5),
p(7n + 5) ≡ 0 (mod 7),
p(11n + 6) ≡ 0 (mod 11).
In 1944, Freeman Dyson conjectured combinatorial statistic called rank which divided the partitions of 5n+4 and 7n+5 into 5 and 7 equal classes respectively. It is not the case for 11n+6 and Dyson conjectured the existence of a crank that would combinatorially explain the third congruence. By studying Ramanujan’s last notes it was recently discovered that he was working on cranks up to four days before his death on April 26, 1920. In my talk I am going to tell about new developments on rank and crank modulo 11.
А.Зайцев
Константы Жордана группы Кремоны ранга 2 и автоморфизмы двумерных квадрик
В своем докладе я определю свойство жордановости бесконечной группы и схематично объясню, почему группа бирациональных автоморфизмов проективной плоскости над полем характеристики 0 удовлетворяет этому свойству. Также мы оценим «несложность» конечных подгрупп этой группы, а именно посчитаем ее константу Жордана
Многочлены Костанта-Кумара
В данной работе рассмотрена связь многочленов Костанта-Кумара с касательными конусами к многообразиям Шуберта. А также доказана теорема о носителях базисных инволюций, состоящих из не более, чем из трёх корней, и их касательных конусах.
А.Никитина
Параболические подгруппы высоты 1
Объектом изучения в моей работе является поле инвариантов присоединённого действия максимальной унипотентной подгруппы полной матричной группы на нильрадикал фиксированной параболической подалгебры. Для параболических подгрупп высоты 1 доказано существование всюду плотной орбиты действия
В.Покидкин
Дискриминанты полиномиальных систем
Пространство полиномов с заданным многогранником Ньютона содержит дискриминант - множество полиномов с вырожденным корнем. Такие дискриминанты были введены Гельфандом, Капрановым, Зельвинским и Штурмфельсом в 1990-ых. Задача о вычислении коразмерности дискриминанта была решена усилиями многих авторов в 2010-ых.
Одной из веток обобщений является построение дискриминанта в пространстве полиномиальных систем уравнений с фиксированным носителем (набором многогранников Ньютона или, более обще, набором конечных множеств). В этом случае дискриминант – множество коэффициентов систем уравнений с кратным корнем – может иметь больше одной компоненты, и компоненты могут иметь разную коразмерность. Описание дискриминантов такого вида ещё не построено, однако можно сформулировать гипотезу для случая наборов многогранников (конечных множеств) с положительным смешанным объемом.
Я.Бунтова
Комбинаторика расстановок ладей в классических системах корней
В моей работе показано, что для системы корней G_2 множество обычных и ортоганальных расстановок ладей не является градуированным. Также предоставлена гипотеза для определенного порядка для множества расстановок ладей системы корней C_n и показано, что для одного порядка множество расстановок ладей является градуированным множеством для n=3
А.Актанов
Функция Мёбиуса ограничения порядка Брюа на различные классы расстановок ладей
Расстановкой ладей называется набор положительных корней с попарно неположительными скалярными произведениями. С каждой расстановкой можно естественно связать элемент группы Вейля. Мы планируем охарактеризовать в докладе функцию Мёбиуса для ограничения порядка Брюа на соответствующие элементы группы Вейля для различных классов расстановок ладей в системах корней A_n и C_n.
А.Архангельский
Инволюции в группе Вейля и замыкание В-орбит
С каждой инволюцией в группе Вейля можно связать коприсоединенную В-орбиту нильрадикала борелевской подалгебры с соответствующей полупростой алгеброй Ли. Мы изучаем замыкание таких В-орбит с комбинаторной точки зрения. В докладе будут явно описаны замыкания для некоторых классов инволюций.
В.Левашев
Многомерный символ Конту-Каррера
В работе 1994г. Конту-Каррер для любого ассоциативного коммутативного кольца с единицей A определил биллинейное спаривание на группе обратимых элементов кольца A((t)). В 2015г. Осипов и Горчинский(а перед эти Осипов и Жу для n = 2) определили n-мерный символ Конту-Каррера на обратимых элеметах кольца A((t_1))…((t_n)) через граничное отображение в К-теории. Если A - это поле, то символ совпадает с ручным символом. Одно из его замечательных свойств это то, что он не меняется при замене локальных параметров t_1, …, t_n. Оказывается, что все такие символы с точностью до знака описываются как целая степень символа Конту-Каррера.
14 линия В.О. дом 29, Санкт-Петербург
Санкт-Петербургский международный математический институт им.Леонарда Эйлера
