В математическом центре мирового уровня имени Леонарда Эйлера

с 1 по 5 мая 2024 года пройдет Весенняя школа-конференция по теории чисел, алгебре и алгебраической геометрии для молодых исследователей.

На школе будут представлены 8 мини-курсов.

Регистрация с запросом о финансировании открыта до 20 марта 2024. Регистрация без запроса на финансирование открыта до 1 мая 2024.

Адели числовых полей

Александр Калмынин (НИУ ВШЭ)

При изучении свойств конечных расширений поля рациональных чисел часто оказываются полезными аналитические техники, использующие вложение числового поля в евклидово пространство. Однако иногда удобнее вкладывать изучаемое числовое поле не в евклидово пространство, а в неархимедово векторное пространство, и использовать не вещественный, а p-адический анализ. Кольцо аделей — это естественный объект, который возникает при попытке изучать все пополнения данного поля одновременно. Адели обладают массой интересных свойств и позволяют интерпретировать некоторые результаты теории чисел в топологических терминах, а также эффективно использовать гармонический анализ на локально компактных абелевых группах в алгебраической теории чисел. Мы обсудим пополнения конечных полей, конструкцию кольца аделей и их базовые свойства, а затем приведем адельные доказательства результатов о числовых полях, таких как теорема Дирихле о единицах и конечность группы классов идеалов.

Градуировки на алгебрах Ли

Виктор Петров (СПбГУ)

Классические алгебры Ли имеют понятную матричную реализацию. В то же время построить исключительные алгебры Ли не так просто, и конструкции оказываются связанными с неассоциативными алгебрами (октавами, йордановыми алгебрами, структурируемыми алгебрами и т.п.). Мы обсудим, как такие конструкции (Титса-Кантора-Кехера, Винберга, Эллисона и пр.) возникают из градуировок алгебр Ли конечными группами или системами корней.

Уровень и u-инвариант поля в теории квадратичных форм

Александр Сивацкий (СПбГУ)

Планируется рассказать о некоторых интересных теоремах из теории квадратичных форм над полями. Пусть F -- поле, характеристика которого не равна 2. Уровнем поля s(F) называется наименьшее n такое, что -1 является суммой n квадратов элементов поля. Так называемый u-инвариант поля u(F) есть наибольшее n, такое, что над F существует анизотропная (не имеющая нетривиальных нулей) квадратичная форма размерности n. Легко показать, что s(F) не превосходит u(F). В течение трех лекций мы надеемся:
1) Дать обзор известных результатов об этих инвариантах поля и привести некоторые примеры (с доказательствами или без).
2) Доказать, что для любого поля F его уровень есть либо степень 2, либо бесконечность.
3) Доказать, что u(F)=2^n, если F=k(X) -- поле функций неприводимого n-мерного алгебраического многообразия X над алгебраически замкнутым полем k.
4) Построить пример поля, u-инвариант которого равен данному четному числу (А.С. Меркурьев)..

Бирациональная геометрия поверхностей

Константин Шрамов (МИАН/НИУ ВШЭ)

Я расскажу про геометрию проективных поверхностей и их грубую бирациональную классификацию, опирающуюся на программу минимальных моделей. Используя тот же подход, мы выясним основные свойства групп автоморфизмов и бирациональных автоморфизмов поверхностей. Это делается с помощью эквивариантной версии программы минимальных моделей, которая наиболее содержательна в случае рациональных поверхностей. В частности, одной из интересных промежуточных задач является описание групп автоморфизмов поверхностей дель Пеццо, которое связано с теорией систем корней и групп Вейля. В качестве иллюстрации мы обсудим качественные свойства конечных подгрупп в группах бирациональных автоморфизмов, такие как жордановость и ограниченность конечных подгрупп.

Исключительные наборы на однородных пространствах

Александр Кузнецов (МИАН/НИУ ВШЭ)

Исключительный набор векторных расслоений --- это своего рода базис в производной категории когерентных пучков. Он дает ключ к пониманию геометрических свойств многообразия и позволяет удобно производить вычисления. К сожалению, исключительные наборы бывают далеко не на всех многообразиях: чтобы такой набор существовал, многообразие должно быть алгебраически клеточным или хотя бы близким к клеточному. Ожидается, что исключительные наборы существуют на всех компактных однородных пространствах редуктивных групп. Однако, общего способа построения исключительных наборов на однородных пространствах до сих пор не известно. Я расскажу о существующих конструкциях исключительных наборов на однородных пространствах и об открытых вопросах в этой области.

Аффинные моноиды и их алгебро-геометрические свойства

Юлия Зайцева (НИУ ВШЭ)

Аффинным алгебраическим моноидом называется аффинное алгебраическое многообразие, на котором задана ассоциативная полиномиальная бинарная операция, обладающая нейтральным элементом. Мы докажем несколько общих фактов об алгебраических моноидах, обсудим существующие классификации в случаях некоторых групп обратимых элементов и опишем умножение, множество идемпотентов и центр моноида коранга один на языке торической геометрии.

Магический квадрат Титса-Фрейденталя

Ляля Гусева (НИУ ВШЭ)

Магический квадрат Титса--Фрейденталя был описан в 1950-х годах как способ построить почти все, кроме g_2, исключительные алгебры Ли по паре нормированных алгебр с делением. С этой конструкцией связан целый ряд загадочных и пока еще не до конца изученных явлений из геометрии и теории представлений. Я постараюсь объяснить основные идеи построения магического квадрата, расскажу о его геометрической версии и возникающих из нее алгебраических многообразиях. Также мы обсудим свойства этих многообразий и интересные связи между ними.

Введение в геометрию Аракелова

Владимир Жгун (НИУ ВШЭ)

Геометрия Аракелова возникла как способ корректно определить теорию пересечений для схем над Z или более общо над кольцами целых алгебраических чисел. Основной идеей конструкции, предложенной Аракеловым, для компактификации алгебраической кривой, определенной над целыми числами или более обще над кольцом целых алгебраических чисел было добавление так называемых слоев на бесконечности, которые отвечают архимедовым нормированиям и, по сути, сводятся к исходной кривой, рассматриваемой над вещественными или комплексными числами. Однако индекс пересечения и теория пересечений для этих слоев определен не буквально. Для его определения Аракелов предложил использовать функции Грина.

Я расскажу о необходимых ингредиентах для построения такой теории по работам Gillet, Soule, Bismut'a и их соавторов. В частности, будет рассказано о потоках Грина, вторичных характеристических классах, метрике Квиллена, обобщениях понятий групп Чжоу, К-групп и характеристических классов в геометрии Аракелова. Также будет рассказано об одной из версий арифметической теоремы Римана-Роха.