Многообразия Севери—Брауэра и центральные простые алгебры

Сергей Тихонов (БГУ)

Я расскажу о связи между многообразиями Севери—Брауэра и центральными простыми алгебрами и способах построения таких многообразий. В завершение я расскажу о гипотезе Амицура, которая утверждает, что два многообразия Севери—Брауэра бирационально изоморфны тогда и только тогда, когда соответствующие центральные простые алгебры имеют одинаковую степень, а их классы порождают одну и ту же подгруппу в группе Брауэра. В настоящее время эта гипотеза доказана только в некоторых частных случаях.

Понятия размерности для триангулированных категорий

Дмитрий Пирожков (МИАН/НИУ ВШЭ)

Возникающие в алгебре и алгебраической геометрии триангулированные категории, как правило, обладают множеством замечательных свойств. Например, по этим категориям можно восстанавливать некоторые инварианты исходного кольца или многообразия. Некоторым из таких инвариантов можно придать смысл и для произвольной триангулированной категории, начиная с простейшего --- понятия размерности. Я расскажу о нескольких вариантах определения "размерности" для триангулированной категории и о том, что про них известно. Мы подробно обсудим понятие размерности Рукье, связанные с ним гипотезы, а если останется время, то я, следуя статье Орлова, объясню, почему для алгебраических кривых размерность Рукье их производной категории когерентных пучков, как и следовало ожидать, равна единице.

Особенности в бирациональной геометрии

Юрий Прохоров (МИАН)

Современный подход к бирациональной классификации многомерных алгебраических многообразий предполагает работу не только с гладкими, но и с особыми многообразиями. Планируется обсудить различные типы особенностей, возникающие в теории минимальных моделей. В основном, мы сконцентрируемся на случаях размерности 2 и 3. В частности, будет подробно рассказано о двумерных канонических и логтерминальных и трехмерных терминальных особенностях. Если останется время, то мы обсудим также индуктивный метод классификации многомерных особенностей.

Гомотопические оснащения для категорий

Дмитрий Каледин (МИАН/НИУ ВШЭ)

Локализация категории по какому-либо классу морфизмов в ней -- одна из наиболее полезных в практической жизни общекатегорных процедур; так получаются, например, производные категории абелевых категорий. Однако здесь есть проблема: категории, полученные локализацией, недостаточно рассматривать просто как категории -- при этом теряются существенные дополнительные данные, неформально известные как "оснащение". Я дам некоторое введение в этот круг вопросов, покажу, как возникает проблема, и как ее решать с помощью формализма оснащенных категорий, основанного на понятии "дериватора". Все необходимые понятия теории категорий я напомню по ходу дела. Некоторое знакомство с гомологической алгеброй полезно, но необязательно. Симплициальная теория гомотопий, модельные категории и пр. применяться не будут.