Линейная двойственность Гейла и торическая геометрия

Иван Аржанцев (ФКН НИУ ВШЭ)

Мы начнем с элементарной конструкции из линейной алгебры, которая называется линейной двойственностью Гейла и сопоставляет одному конечному набору векторов другой конечный набор, а также докажем ряд свойств этой конструкции. Затем напомним основные определения и факты о торических многообразиях и покажем, что линейная двойственность Гейла приводит к альтернативному способу задания торических многообразий в терминах дивизоров. Этот способ удобен для описания группы автоморфизмов торического многообразия и связанных с ней комбинаторных объектов, называемых корнями Демазюра. В качестве приложений мы докажем теорему о гибкости невырожденных аффинных торических многообразий и обсудим задачи классификации однородных торических многообразий и полных торических многообразий с большой орбитой группы автоморфизмов.

Нодальные поверхности

Александра Кузнецова (МФТИ ВШМ/НИУ ВШЭ/МИАН)

Сколько обыкновенных двойных точек (нодов) может иметь поверхность заданной степени в P^3? Эта задача о «наиболее особых» многообразиях восходит еще к работам геометров XIX века. На миникурсе мы обсудим верхнюю оценку на число нодов, вытекающую из неравенства Богомолова-Мияоки-Яу, и увидим, что даже для малых степеней она не совпадает с точной. Мы рассмотрим знаменитых «рекордсменов» — кубику Кэли, квартику Куммера, поверхности Тольяти и Барта — и докажем, что они в самом деле обладают максимальным числом особенностей в своих степенях. Кроме того, мы обсудим связь этой задачи с бирациональной геометрией: рассмотрим двойные накрытия, разветвленные в нодальных поверхностях, и покажем, как они позволяют строить примеры нерациональных многообразий Фано.

Бирациональные инварианты алгебраических многообразий

Константин Логинов (МФТИ/НИУ ВШЭ/МИАН)

Я постараюсь дать обзор инвариантов, построенных в работах Никеза-Шиндера-Концевича-Чинкеля-Лина для того, чтобы различать не (стабильно) бирационально эквивалентные алгебраические многообразия. В частности, мы сосредоточимся на различных вариантах групп Бернсайда, опишем их свойства и приложения к изучению групп бирациональных автоморфизмов многообразий. Если останется время, обсудим связь этих инвариантов с теорией атомов в смысле работы Елагина-Шиндера-Шнайдер.

Теорема Бриона о положительности

Антон Фонарев (МИАН)

Мы обсудим достаточно давнюю и совершенно конкретную теорему, принадлежащую Бриону, о положительности структурных констант в К-теории пространств флагов (соответствующую гипотезу сформулировал Бух). На примере этой теоремы, которая отвечает на очень просто сформулированный вопрос, мы увидим, как используется достаточно серьезная машинерия современной (или уже классической) алгебраической геометрии.

Дзета-функции арифметических схем и алгебраических многообразий.

Денис Осипов (МИАН/НИУ ВШЭ)

Обычная дзета-функция Римана, рассмотренная как эйлеровское произведение по простым числам, допускает обобщение на конечно порожденные коммутативные кольца над кольцом целых чисел, и более общо - на схемы конечного типа над кольцом целых чисел, то есть, на арифметические схемы. Дзета-функция арифметической схемы связана с производящими рядами для количества точек над конечными полями редукции этой схемы по простым числам. Я приведу примеры и расскажу про первые свойства дзета-функций арифметических схем. Также сформулирую различные широко известные гипотезы. В случае, когда арифметическая схема - это алгебраическая кривая над конечным полем, гипотеза Римана для дзета функции этой кривой эквивалентна оценке Хассе-Вейля для количества точек на кривой над расширениями основного поля. Я расскажу про эту эквивалентность и докажу оценку Хассе-Вейля, используя геометрию квадрата исходной кривой.