Линейная двойственность Гейла и торическая геометрия

Иван Аржанцев (ФКН НИУ ВШЭ)

Мы начнем с элементарной конструкции из линейной алгебры, которая называется линейной двойственностью Гейла и сопоставляет одному конечному набору векторов другой конечный набор, а также докажем ряд свойств этой конструкции. Затем напомним основные определения и факты о торических многообразиях и покажем, что линейная двойственность Гейла приводит к альтернативному способу задания торических многообразий в терминах дивизоров. Этот способ удобен для описания группы автоморфизмов торического многообразия и связанных с ней комбинаторных объектов, называемых корнями Демазюра. В качестве приложений мы докажем теорему о гибкости невырожденных аффинных торических многообразий и обсудим задачи классификации однородных торических многообразий и полных торических многообразий с большой орбитой группы автоморфизмов.

Нодальные поверхности

Александра Кузнецова (МФТИ ВШМ/НИУ ВШЭ/МИАН)

Сколько обыкновенных двойных точек (нодов) может иметь поверхность заданной степени в P^3? Эта задача о «наиболее особых» многообразиях восходит еще к работам геометров XIX века. На миникурсе мы обсудим верхнюю оценку на число нодов, вытекающую из неравенства Богомолова-Мияоки-Яу, и увидим, что даже для малых степеней она не совпадает с точной. Мы рассмотрим знаменитых «рекордсменов» — кубику Кэли, квартику Куммера, поверхности Тольяти и Барта — и докажем, что они в самом деле обладают максимальным числом особенностей в своих степенях. Кроме того, мы обсудим связь этой задачи с бирациональной геометрией: рассмотрим двойные накрытия, разветвленные в нодальных поверхностях, и покажем, как они позволяют строить примеры нерациональных многообразий Фано.

Бирациональные инварианты алгебраических многообразий

Константин Логинов (МФТИ/НИУ ВШЭ/МИАН)

Я постараюсь дать обзор инвариантов, построенных в работах Никеза-Шиндера-Концевича-Чинкеля-Лина для того, чтобы различать не (стабильно) бирационально эквивалентные алгебраические многообразия. В частности, мы сосредоточимся на различных вариантах групп Бернсайда, опишем их свойства и приложения к изучению групп бирациональных автоморфизмов многообразий. Если останется время, обсудим связь этих инвариантов с теорией атомов в смысле работы Елагина-Шиндера-Шнайдер. 

TBA

Антон Фонарев (МИАН)

ТВА

TBA

Денис Осипов (МИАН)

ТВА